Matematică
woo1
1

În paralelogramul ABCD cu BD⊥AD se notează cu M şi N mijloacele laturilor AB şi respectiv DC. Să se arate că BMDN este romb.

+0
(2) Răspunsuri
Loliciune

daca BD este perpendicular pe AD, inseamna ca triunghiul BAD este dreptunghic cu unghiul D=90grade. Rezulta ca BD si AD sunt catete, iar AB este ipotenuza. Cum M este mijlocul lui AB, atunci DM este mediana din triunghiul dreptunghic corespunzatoare ipotenuzei. Dar stim ca aceasta mediana este egala cu jumatate din ipotenuza din proprietatile triunghiului dreptunghic Atunci [latex]DM=\frac{1}{2}*AB[/latex] Din proprietatile paralelogramului mai stim ca: laturile opuse sunt paralele si egale. Atunci, AD este paralel cu BC, daca BD e perpendicular pe AD, atunci va fi perpendicular si pe BC, BD perpendicular pe BC se formeaza triunghiul dreptunghic DBC cu unghiul B de 90 de frade. Laturile opuse AB si CD sunt si ele paralele dar si egale CD=AD In triunghiul dreptunghic DBC, BD si BC sunt catete, iar CD este ipotenuza. Dar din nou N este mijlocul lui CD, al ipotenuzei, BN este mediana corespunzatoare ipotenuzei, adica [latex]BN=\frac{1}{2}*CD=\frac{1}{2}*AB=DM[/latex] Acum ne uitam la patrulaterul BMDN. Prima oara observam ca BM si DN sunt paralele, din moment ce ambele apartin segmentelor AB si CD care sunt paralele. Apoi mai observam ca sunt egale intre ele, deoarece BM este mijlocul lui AB [latex]BM=\frac{1}{2}*AB[/latex] DN este mijlocul lui CD [latex]DN=\frac{1}{2}*CD=\frac{1}{2}*AB[/latex] deci BM=DN si BM||BN, rezulta ca BMDN este un paralelogram.  Dar mai stim ca [latex]BM=DN=\frac{1}{2}*AB=DM=BN[/latex] toate laturile sunt egale, Paralelogramul BMDN cu toate maturile egale este un romb.

Charliexcx

ABCD-paralelogram rezulta ca AB=CD, şi cum M şi N sunt mijloacele laturilor AB şi CD, rezulta ca AM=BM=DN=CN (1); Cum AB||CD, rezulta ca şi BM||DN (2). Din relatiile (1) şi (2) rezulta ca BMDN- paralelogram, rezulta ca şi DMpararel şi egal cu BN. BD _|_ AD, rezulta ca triunghiul ADB dreptunghic. M-mijlocul lui AB, rezulta ca DM este mediană. Mediana într-un triunghi dreptunghic este jumătate din ipotenuza. DM=AB/2=BM, si cum BMDN e paralelogram rezulta ca BMDN este romb

Adaugă răspuns